TODO SOBRE LOS ÁNGULOS

¿QUÉ ES UN ÁNGULO?

Resulta muy sencillo definirlo, pues es un concepto geométrico elemental e intuitivo que podemos constatar a cada paso en la disposición de los objetos de nuestro mundo. Los rincones o esquinas, el horizonte, los dobleces, las puertas semiabiertas,  etc. nos sugieren ángulos

Por definición rigurosa, un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos segmentos de recta que se unen en un punto común llamado vértice. Pero en otros términos  lo entendemos como una abertura entre dos líneas rectas que se cortan en un punto.

Los ángulos pueden aparecer representados por alguna letra del alfabeto griego como α, β, γ, o como una letra mayúscula con signo circunflejo: Â, Ô

 

¿CÓMO SE MIDEN LOS ÁNGULOS?

La amplitud de un ángulo suele medirse en grados sexagesimales (recuerda que estos grados son aquellas unidades que tienen por base al número sesenta, como las horas, los minutos y los segundos). El instrumento clásico de uso escolar para medir los grados angulares es el transportador, que seguramente conoces desde la primaria. Los grados se cuentan en sentido contrario de las manecillas del reloj (giro hacia la izquierda).

En el siguiente enlace podrás recordar la manera de emplear este instrumento para realizar la lectura correcta de la abertura de un ángulo

CLIC PARA MEDIR ÁNGULOS

En el sistema internacional de unidades (SI) se utiliza el radián para lecturas de medidas angulares. Algunos ejercicios del M8 y M19 demandarán  que realices conversiones entre grados sexagesimales y radianes, por ello es conveniente familiarizarte con el modo de efectuarlas.

  
 Primero considera que una circunferencia completa tiene un total de 360º sexagesimales, de ahí concluimos que la mitad de la misma mide 180º y cada cuadrante poseerá 90º, como puedes apreciar fácilmente en la siguiente imagen.

A continuación tenemos un factor básico de conversión entre grados y radianes:

 180º= ϖ radianes = 3.1416 RAD

Y es fácil deducir a partir de lo anterior las siguientes relaciones:


 360º= 2ϖ radianes =6.2832 RAD
   90º= ϖ/2 radianes =1.57 RAD



 Ahora revisemos algunos ejercicios

•  Convierte 150º a radianes

    Se trata de obtener primero la proporción: 

   Luego simplificando la fracción anterior: 

 

•  Ahora convierte  5.678 radianes a grados

    Primero nos servimos de nuevo de la proporción pero ahora en orden invertido

                       

  Efectuamos las operaciones y tenemos finalmente:

 Comprueba las respuestas a este y otros ejercicios propuestos por tus asesores o en tus libros  en el siguiente enlace

CLIC  AQUÍ  PARA REVISAR LAS CONVERSIONES

 

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS POR SUS MEDIDAS

 

 

1. ÁNGULOS RECTOS

 Son ángulos cuyo valor es de 90º ( ϖ/2 radianes). Se identifican visualmente por tener la disposición de una escuadra, y son esenciales en figuras como cuadrados, rectángulos y triángulos rectángulos

2. ÁNGULOS LLANOS

Su valor de referencia es de 180º (ϖ radianes). Se puede apreciar que   tienen la misma cantidad de grados de un transporator común. Podrías concebirlo como una revolución o giro de la mitad de una circunferencia.

3. ÁNGULOS AGUDOS

A diferencia de los dos casos anteriores que se definen con una sola cantidad en grados, los ángulos agudos pueden poseer un amplio rango de valores, a condición que siempre se mantegan  mayores de 0º y menores de 90º(ϖ/2 radianes)

4. ÁNGULOS OBTUSOS

Su intervalo de definición comprende  a todos los ángulos  mayores que un ángulo recto 90º(ϖ/2 radianes), pero menores que uno llano,  180º ( ϖ radianes).

RELACIONES ANGULARES

Los ángulos tienen  variedad de casos en los que se asocian y podemos establecer una relación de semejanza o les asignamos valores basados en principios geométricos básicos. Veamos algunos casos.

1. IGUALDAD DE ÁNGULOS : Existen situaciones donde podemos inferir  la igualdad de valores entre dos o más ángulos por la posición que guardan unos en relación con otros. El caso de ángulos opuestos por el vértice es significativo. Veamos la siguiente figura.

 Tenemos cuatro ángulos que se forman al cortarse dos rectas en un punto:

 α,β,γ,δ . De modo poco formal podríamos expresar que hay igualdad entre los pares de ángulos α,β  y  γ,δ  porque son aquellos que se encuentran por la parte de "la punta" o el vértice. Todos estos ángulos siempre son iguales por definición. Bastaría con darnos el valor de uno de ellos para inferir de inmediato el del otro.

Si tuviéramos, por ejemplo, el siguiente esquema:

 Sería muy sencillo argumentar que el ángulo β=35º por ser opuesto por el vértice al otro ángulo del mismo valor.

 

2. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. Su definición resulta simple: se trata de aquellos ángulos que sumados nos dan 90º, o  un ángulo recto (ϖ/2 radianes). Por ello  cumplen siempre con la siguiente condición:  

 α+β= 90º

Observemos la siguiente imagen

De ella podemos inferir que los valores de ambos ángulos sumados dan por resultado un ángulo recto o en escuadra. Si conocemos el valor de α, podemos obtener el del ángulo restante por diferencia con 90º.

¿Cuál es el ángulo complementario de 35º?  90º-35º=55º

¿Cuál es el complementario de 10º?  90º-10º= 80º

Elemental ¿no te parece?

 

3. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS. Análogo al caso anterior, se trata de aquellos    ángulos    que sumados        nos dan 180º, o   un ángulo llano 

 (ϖ radianes).

Por ello llenarán siempre el siguiente requisito:  α+β= 180º

 He aquí otra imagen con dos ángulos

  

De ella tenemos que la adición de  los valores de ambos nos resulta  en  un ángulo llan0. Si conocemos el valor de α, podemos obtener el del ángulo restante por diferencia con 180º.

¿Cuál es el ángulo suplementario de 29º?  180º-29º=151º

¿Cuál es el suplementario de 100º?  180º-100º= 80º

Mas fácil... imposible