LOS NÚMEROS REALES: DEFINICIÓN Y COMPOSICIÓN

Por Der Lehrer

 

REALES,  Y MUY REALES

En esta publicación analizaremos un conjunto numérico infinito, cuyos   subconjuntos, así como sus propiedades, nos permitirán realizar todas las operaciones requeridas para la solución de problemas abordados en todos los módulos de nuples  con contenidos disciplinarios matemáticos. Así que vamos comenzando con su estudio.

SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)

 

Se sabe que desde las épocas más remotas, el hombre tuvo que usar un conjunto numérico para interpretar su realidad. Había que contabilizar, por ejemplo, el número de individuos de una familia, las herramientas, los utensilios, las piezas de caza, etc. Como se supone que esta operación matemática era una necesidad espontánea, hoy día conocemos como números naturales a aquel conjunto que comprende a los enteros positivos que hemos usado desde nuestro primer acercamiento a  la matemática para el acto elemental de contar. 

Se trata de un grupo infinito de números, que se denota matemáticamente con la letra N, comienza desde el número 1 y se describe así en notación de conjuntos:  

 N=  { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)

 Si pensamos un poco en  nuestros primeros contactos con la matemática ya desde la primaria, recordaremos que después de los números para contar o naturales, aprendimos que existe un número que nos expresa la ausencia de  cantidad: el cero,  y otros más  que tienen el mismo valor de los naturales, pero signo contrario o "menos", los llamados enteros negativos: -1,-2,-3,-4..., que eran útiles para operaciones con restas donde no podíamos obtener valores positivos, tales como:  3-5, 6-9, 7-14, etc.

Pues bien, si efectúamos la unión del conjunto de  los números naturales, el cero y el grupo de los enteros negativos, obtendremos un conjunto más vasto conocido como subconjunto de los números enteros, que se representa con la letra Z (de Zahlen, palabra para números en lengua alemana).

De lo anterior dicho,  resulta  evidente que todos los números enteros positivos o naturales se hallan incluidos en el conjunto Z, lo cual podríamos representar así:

SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)

 Prosiguiendo con nuestras memorias  del  itinerario numérico, al avanzar en el conocimiento de las operaciones básicas, nos encontramos con una clase de números que acaso fueron  nuestro "quebradero de cabeza": las fracciones o quebrados. 

Todos estos números como 1/2, 2/7, 3/4, etc. no pertenecen al orden de los números enteros, aunque ellos mismos sean la expresión de un entero (numerador) que se divide entre otro número entero (denominador). En la fracción  5/7, por ejemplo,  entendemos que el número 5 se repartirá entre el 7.  El resultado  de esta operación puede expresarse decimalmente:   

5/7= 5 ÷ 7 = 0.71428...

... y desde luego que no pertenece al grupo de los enteros.

Ahora bien, si estudiamos a detalle algunos elementos del conjunto de los números enteros, nos encontraremos con una propiedad bastante interesante.

Tomemos, por ejemplo, al número 2.  Nadie podrá objetar que si dividimos a este número  por la unidad, obtendremos como resultado el mismo número :

2 ÷ 1=2

E idéntica  característica observaremos en todos y cada uno de los números enteros en los que practiquemos la operación:

   0 ÷ 1=0

-  4 ÷ 1=-4  

    6 ÷ 1=6

Es fácil concluir entonces por generalización que todo número entero puede ser expresado como la división de dos números enteros: el mismo entero sobre la unidad, es decir que a todos  los enteros los podemos escribir también como quebrados:

 Y he aquí el principio que define a un nuevo subconjunto, llamado conjunto de los números racionales, representado con Q (por la raíz del latín quotient, que en varios idiomas europeos indica cociente o división): los racionales son el conjunto numérico que se expresa como p/q, donde tanto p como q son números enteros, con el detalle de que el denominador q no puede ser jamás el número cero (0), pues la división entre cero es una operación descartada en la matemática.

Como puedes ver, tanto las fracciones como los enteros pertenecen al subconjunto de los números racionales.

Aquí podemos ver al conjunto de los enteros (Z) como un  subconjunto del grupo de los números racionales (Q)

SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES (I)

Continuando con nuestras  remembranzas, no podemos dejar de recordar a ese "numerito" que tantas veces nos mencionaran con su famosa expresión decimal: 3.1416..., sí: el número pi (π). Pero ¿qué clase de número es el dichoso pi? Puesto que no es evidentemente un entero, y se ha comprobado que tampoco surge de la división de dos números enteros.

Podríamos simplificar el asunto declarando que todo número que no sea considerado racional será denominado automáticamente como número irracional,  conjunto numérico que simbolizaremos con la letra I

En terminos más formales, los números irracionales son un conjunto que comprende a todas las expresiones que en modo alguno se pueden expresar como la división de dos enteros (caso de los racionales, Q)

 

Los números irracionales se identifican en dos grupos:

El primero comprende a aquellos que se simbolizan con letras griegas y tienen expresiones decimales infinitas y no periódicas:

El ya mencionado pi (π),   pero también el número e= 2.7182..., que sirve de base a los  logaritmos naturales.

En el segundo  nos encontramos con todas las raíces "inexactas", tanto positivas como de signo menos:

Consideraciones importantes

I. Hay que señalar que aunque algunos números racionales (Q) también se pueden expresar con decimales infinitos, siempre tienen un patrón reconocible y repetitivo; lo que no ocurre en los irracionales (I), cuyas cifras se suceden "al azar": 

1/3=  0.33333333......  (repetición de 3 al infinito)

1/7=  0.142857142857... (repetición del periodo 142857)

  π = 3.1415926535 8979323846 2643383279.... (jamás se repite un periodo de cifras)

=   2.6457513111....  (tampoco tiene un periodo de cifras)

 II.  Ejemplos como las siguientes raíces:

  NO SON NÚMEROS IRRACIONALES, pues equivalen a 5, 6 y 10 respectivamente, números que como ya sabes pertenecen al conjunto de los enteros (Z)

 III.  Las raíces cuadradas o pares de números negativos NO SON TAMPOCO NÚMEROS IRRACIONALES, y ni siquiera pertenecen a los números reales. Así números como:

Simplemente NO EXISTEN en ningún campo numérico de los hasta ahora estudiados.

 Pero: 

SÍ EXISTEN, de hecho son los números  -3 y -5, respectivamente, como puedes comprobar de modo fácil con los conceptos  de raíz cúbicay leyes de los signos de la multiplicación

Así que de lo previamente analizado, definiremos finalmente  al conjunto de los números reales, que simbolizamos con la letra R, como aquel que comprende en sí a todos los subconjuntos antes mencionados. De modo general, sería la suma de los subconjuntos de números racionales (Q) e irracionales (I).  Podríamos expresar también que es el grupo de todos los números existentes.

El conjunto R es de vital importancia para cualquier tipo de operación matemática básica y avanzada,  y posee algunas reglas y principios que analizaremos en otro lugar.