M15: CÁLCULO EN FENÓMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES

UBICACIÓN: NIVEL IV: RELACIONES Y CAMBIOS

 

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Campos disciplinares

Matemáticas

  
Ciencias experimentales

 
Ciencias sociales

Objetivo general

Que emplees el cálculo infinitesimal, con todos los conceptos que este implica, como una herramienta de análisis y explicación de fenómenos que ocurren en tu entorno social y natural.

Introducción

Nos encontramos en un mundo cuyo principal rasgo sea acaso su casi infinita capacidad de cambio y trransformación. A lo largo de la historia de la civilización no pocos matemáticos célebres habían intentado en vano crear un instrumento que permitiese el análisis minucioso de las variaciones de un fénomeno en el tiempo. Hasta que dos genios universales, Newton y Leibniz, cada uno por cuenta propia, dieron con la formidable mecanismo requerido: el cálculo infinitesimal. 

En este módulo tendrás una introducción a este disciplina matemática, que para una mejor asimilación se dividirá en dos partes:

1. Cálculo diferencial (concepto clave, la derivada)
2. Cálculo integral (concepto fundamental, la integral)

Para comenzar con el estudio realizarás el repaso de un concepto matemático básico: las funciones. Recordarás bien que se trata de un caso particular de relación capaz de describir el comportamiento de un evento de orden natural o de la esfera social. Trabajarás luego con sus elementos: dominio y codominio (o contradominio); las clasificarás en sus diferentes tipos; te ejercitarás en el manejo de operaciones algebraicas con ellas: suma, resta, multiplicación y división. En seguida abordarás un concepto clave del precálculo: el límite, entendido no tanto como un valor dado sino como una tendencia aproximativa de ciertos valores del dominio y del codominio de las funciones. Aprenderás asimismo que los límites pueden ser finitos o infinitos, según la función de que se trate. 

De ahí pasarás al concepto central del módulo: la derivada. Quizá una forma general de expresarla sea diciendo que a partir de una función obtejemos por un procedimiento matemático, otra función que nos indica el valor de inclinación o pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la gráfica de la función original. Prestarás entonces especial atención a conceptos como: recta tangente, pendiente de la recta tangente (m). Luego procederás a conocer las reglas y leyes que permiten obtener la derivada de cualquier tipo de función. Interpretarás también los resultados obtenidos. 

En una segunda parte conocerás una  operación nueva del cálculo: la integración. Se trata en realidad de un concepto simple: una operación efectuada sobre la derivada de una función a fin de regresarla a la forma original de esta última. Estudiarás que existe una integral indefinida y otra definida. El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) te confirmará que derivada e integral son dos operaciones opuestas, como el sumar y restar.  

La regla de la cadena, por otro lado, te mostrará que existen funciones compuestas que se pueden derivar por partes, considerándolos como el caso de una función incluida en el dominio de otra. Verás que también es posible realizar integraciones de este tipo de funciones.

Finalmente asumirás que la derivada es un poderoso artilugio para analizar todo tipo de cambios o variaciones en el mundo físico y también en el social. A título de ejemplo tenemos: 

• cambio climático
• emisiones de contaminantes
• tasa de crecimiento poblacional
• velocidad instantánea
• aceleración 
• comportamiento de flujos

Y una vez comprendida la esencia de cambio de estos fenómenos estarás sin duda capacitado para elaborar más adelante tus propuestas personales de solución a problemáticas relacionadas con ellos. 

Puedes comenzar el estudio de este componente con la versión PDF del libro de texto. Solo da clic en la imagen de la portada para acceder al sitio de descarga del archivo.

Unidad 1: El movimiento como razón de cambio y la derivada

La función Funciones y relaciones Concepto de función Dominio y contradominio La correspondencia biunívoca Criterio de la línea recta     Tipos de funciones Algebraicas y trascendentes Lineales Cuadráticas Polinomiales Exponenciales Logarítmicas Trigonométricas      Álgebra de funciones Suma Resta Multiplicación División  Límite Definición Límites finitos Límites infinitos Continuidad y discontinuidad de funciones La razón de cambio: el incremento La derivada Concepto La diferencial Interpretación geométrica de la derivada Fórmulas básicas de derivación Ejercicios de derivación Regla de la cadena para derivar funciones compuestas

Unidad 2: La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales

La integral o antiderivada Concepto La integral indefinida El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)   Reglas básicas de integración de funciones: La integral indefinida Ejercicios de aplicación  La integral definida: La interpretación geométrica de la integral Regla de la cadena para integración de funciones compuestas Ejercicios de aplicación de derivadas e integrales en situaciones de fenómenos naturales y procesos sociales: Movimiento uniforme Velocidad instantánea Aceleración Caída libre Variaciones de voltaje Tasas de crecimiento poblacional

Comprueba todos tus ejercicios de derivadas e integrales aquí

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